Question

【題目】各項均為非負整數的數列{an}同時滿足下列條件： ①a1=m（m∈N*）；②an≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+an的因數（n≥1）．
（Ⅰ）當m=5時，寫出數列{an}的前五項；
（Ⅱ）若數列{an}的前三項互不相等，且n≥3時，an為常數，求m的值；
（Ⅲ）求證：對任意正整數m，存在正整數M，使得n≥M時，an為常數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） m=5時，數列{an}的前五項分別為：5，1，0，2，2．

（Ⅱ）∵0≤an≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，

又數列{an}的前3項互不相等，

⑴當a2=0時，

若a3=1，則a3=a4=a5=…=1，

且對n≥3， 都為整數，∴m=2；

若a3=2，則a3=a4=a5=…=2，

且對n≥3， 都為整數，∴m=4；

⑵當a2=1時，

若a3=0，則a3=a4=a5=…=0，

且對n≥3， 都為整數，∴m=﹣1，不符合題意；

若a3=2，則a3=a4=a5=…=2，

且對n≥3， 都為整數，∴m=3；

綜上，m的值為2，3，4．

（Ⅲ）證明：對于n≥1，令Sn=a1+a2+…+an，

則 ．

又對每一個n， 都為正整數，∴ ，其中“＜”至多出現m﹣1個．

故存在正整數M＞m，當n＞M時，必有 成立．

當 時，則 ．

從而 ．

由題設知 ，又 及an+1均為整數，

∴ =an+1= ，故 =常數．

從而 =常數．

故存在正整數M，使得n≥M時，an為常數

【解析】（Ⅰ）當m=5時，寫出數列{an}的前五項；（Ⅱ）對a2、a3分類取值，再結合各項均為非負整數列式求m的值；（Ⅲ）令Sn=a1+a2+…+an，則 ．進一步推得存在正整數M＞m，當n＞M時，必有 成立．再由 成立證明an為常數．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．