Question

解答題

已知函數f(x)＝x²－1(x≥1)的曲線為C₁，曲線C₂與C₁關于直線y＝x對稱．

(1)求曲線C₂的方程y＝g(x)；

(2)設函數y＝g(x)的定義域為M，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，求證：|g(x₁)－g(x₂)|＜|x₁－x₂|：

(3)設A、B為曲線C₂上任意不同兩點，證明直線AB與直線y＝x必相交．

Answer 1

答案：
解析：

(1)曲線C1和C2關于直線y＝x對稱，則y(x)為f(x)的反函數． 　　由y＝x2－1(x≥1)得x＝． 　　∴曲線C2的方程g(x)＝(x≥0)． 　　(2)設x1＞x2∈M，且x1≠x2． 　　則x1－x2≠0且x1≥0，x2≥0． 　　∴|g(x1)－g(x2)|＝|－|＝≤＜|x1－x2|． 　　(3)證明：設A、B為曲線C2上任意不同兩點(x1，y1)，(x2，y2)． 　　x1，x2∈M，且x1≠x2，由(2)知 　　|kAB|＝＝||＜1． 　　∴直線AB的斜率|kAB|≠±1． 　　而直線y＝x的斜率為1． 　　∴直線AB與直線y＝x必相交．