Question

(本小題滿分14分)已知平面向量=(，－1)，=(x，y)(x>0)，=1．
(Ⅰ)若對任意實數t都有,求向量；
(Ⅱ)令=+(sin2α－2cos²α)，=(sin²2α)+(cos²α)，α∈(，π)，若⊥，，求tanα的值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，求 的值．

Answer 1

，tanα=-，

（Ⅰ）由題意知即恒成立，
∴="0                       " …………………… (3分)
∴     解得……………………(5分)
（Ⅱ）易知，∴=0……………………(6分)
即

∴3sin²2α+sin2αcos²α－2cos⁴α)="0         " ……………………(7分)
(3sin2α-2cos²α)(sin2α+cos²α)=0
2cos²α(3sinα-cosα)(2sinα+cosα)=0
∵α∈(，π)，所以cosα<0，sinα>0，2cos²α(3sinα-cosα)>0，
故2sinα+cosα="0                     " ……………(9分)
∴tanα=-，                        ……………………(10分)
(Ⅲ)=
==2sinαcosα
==
==     ……………………(14分)