Question

某人2006年年初投資98萬元購買了一輛挖掘機，第一年各種費用12萬元，以后每年費用都比上一年增加4萬元，若每年挖掘收益為50萬元．
（1）問此人投資后第幾年開始獲利？
（2）若年平均獲利最大時，溝汰該挖掘機最合算，請問此人該使用到哪一年最合算？

Answer 1

分析：（1）、根據題中已知條件將挖掘機每年的費用表示成等差數列，寫出關于純收入y的函數，根據y＞0可以求出n的取值范圍，便可得出此人投資后第3年開始獲利；
（2）、根據（1）中列出的二元一次函數可知當且僅當n=7時，所獲得的利潤最大．

解答：解：（1）由題設知每年的費用是以12為首項，4為公差的等差數列．則純收入y與年數n的關系為
y=50n-[12+16++（8+4n）]-98=40n-2n²-98．
由y＞0得40n-2n²-98＞0
即10-

51

＜n＜10+

51

又因為n∈N₊，所以3≤n≤17
答：從第三年開始獲利．
（2）由上題知，年平均獲利為

y

n

=40-2（n+

49

n

）
∵n+

49

n

≥2

n• 49 n

=14，當僅且當n=7時取等號，
∴當僅且當n=7時，

y

n

有最大值12．
答：此人使用7年到2012年溝汰該機器最合算．

點評：本題考查了等差數列以及一元二次函數的最大值的求法，解題時注意方程思想的運用，屬于中檔題．