Question

【題目】已知函數f（x）= 是奇函數
（1）求a的值；
（2）判斷函數的單調性，并給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

即 ，

即

整理得：（2x﹣1）（a﹣2）=0對任意x∈R都成立，

∴a﹣2=0，

即a=2

（2）解：此時 ，

f（x）在x∈R是增函數，理由如下：

證法一：任取x1，x2∈R，且x1＜x2

則

∵x1＜x2，且函數y=2x是增函數，

∴ ＜0， ＞0

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函數f（x）在R是增函數．

證法二：∵ ，

∴ ，

∵f′（x）＞0恒成立，

所以函數f（x）在R是增函數

【解析】（1）由函數f（x）= 是奇函數，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a的值；（2）f（x）在x∈R是增函數，
證法一：任取x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）﹣f（x2）＜0，結合單調性的定義，可得：函數f（x）在R是增函數；
證法二：求導，根據f′（x）＞0恒成立，可得：函數f（x）在R是增函數．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵．