Question

已知一個圓同時滿足下列條件：①與x軸相切；②圓心在直線3x-y=0上；③被直線l：x-y=0截得的弦長為2

7

，則此圓的方程為

（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9

．

Answer 1

分析：根據題意，設圓心為C（a，3a），圓C被直線l截得的弦為AB，D為AB的中點，連結CD、BC．由垂徑定理和點到直線的距離公式，建立關于a的方程并解出a值，即可得到滿足條件的圓的標準方程．

解答：解：當圓心在直線3x-y=0上的第一象限部分時，設圓心為C（a，3a），其中a＞0，
∵圓C與x軸相切，∴C到x軸的距離等于半徑r，可得r=3a．
設直線l交圓C于A、B兩點，D為AB的中點，連結BC、CD，則CD⊥AB，
又∵圓C被直線l：x-y=0截得的弦長為2

7

，
∴Rt△BCD中，|BC|=r=3a，|BD|=

7

可得|CD|=

|BC|2-|BD|2

=

9a2-7

．
根據點到直線的距離公式，得|CD|=

|a-3a|

2

=

2

a，
∴

9a2-7

=

2

a，解之得a=1，
可得點C（1，3），半徑r=3，此時圓C的方程為（x-1）²+（y-3）²=9；
同理可得：當圓心在直線3x-y=0上的第三象限部分時，圓C的方程為（x+1）²+（y+3）²=9．
綜上所述，所求圓的標準方程為（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9．

點評：本題給出圓滿足的條件，求圓的標準方程．著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．