Question

如圖，多面體ABCDEFG中，面ABCD為正方形，AE，BF，DG均垂直于平面ABCD，且AB=AE=4，BF=DG=2，M，N分別為AB，BC的中點．
（1）若P為BF的中點，證明NP∥平面EGM；
（2）求三棱錐N-EGM體積．

Answer 1

分析：（1）取AE的中點H，根據面BCF∥面ADGE推出PN∥EG，根據直線與平面的性質定理可知PN∥面EGM；
（2）將三棱錐N-EGM體積轉化成V_N-EGM=V_P-EGM=V_G-EMP=V_D-EMP，又AD⊥面ABEF，DC∥AE，再根據三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答：解：（1）取AE的中點H，由題意知，BF∥AE，BC∥AD
∴面BCF∥面ADGE，
∴FC∥HD∥EG，又PN∥FC，
∴PN∥EG．
∴PN∥面EGM

（2）∵PN∥面EGM，
∴V_N-EGM=V_P-EGM=V_G-EMP=V_D-EMP，
又AD⊥面ABEF，DC⊥AE，
∴VN-EGM=

1

3

AD•S△EMP=

1

3

•4•(10-4-1)=

20

3

．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及三棱錐的體積的公式，屬于基礎題．