Question

已知函數f（x）=a²x²+ax-（a＞0），函數g（x）=lnx．
（1）若函數f（x）與函數g（x）的圖象有公共點，且在公共點處有相同的切線，求a的值；
（2）在區間（0，1]上存在x，使f（x）＜g（x）（8），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設公共點為M（x，y），則f^′（x）=g^′（x），f（x）=g（x），聯立兩方程即可求解．
（2）設u（x）=f（x）-g（x），則u（x）＜0，進而求解a的范圍．
解答：解：（1）依題意設函數f（x）與函數g（x）的圖象的公共點為M（x，y），
則，
由①得（2ax-1）（ax+1）=0∵a＞0，x＞0∴x=，
代入②得a=．
（2）令u（x）=f（x）-g（x）=a²x²+ax-lnx-，x∈（0，1]，
若存在x∈（0，1]，使f（x）＜g（x），即u（x）＜0成立，只需u（x）_min＜0，
由u'（x）=2a²x+a-（x∈（0，1]，a＞0）知若0＜a≤，
則u'（x）≤0對于x∈（0，1]恒成立，
∴u（x）在（0，1]上單調遞減，
而u（x）_min=u（1）=a²+a-＜0顯然成立，
∴0＜a≤；
若，同理=ln2a-1＜0∴；
若a≥，同理=ln2a-1≥0不合題意綜合得0＜a＜．
點評：本題考查了直線的圖象特征與斜率的關系，在解題過程中運用了函數在區間上的最值的求解方法，有一定難度，要求掌握好相關知識點間的聯系．