Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx+c的圖象過A（t₁,y₁）、B(t₂,y₂)兩點，且滿足a²+(y₁+y₂)a+y₁y₂=0.

(1)證明：y₁=-a或y₂=-a;

(2)證明：函數f(x)的圖像必與x軸有兩個交點;

(3)若關于x的不等式f(x)＞0的解集為{x|x＞m或x＜n}（n＜m＜0），解關于x的不等式cx²-bx+a＞0.

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵a²+(y₁+y₂)a+y₁y₂=0,

∴(a+y₁)(a+y₂)=0得y₁=-a、y₂=-a.

（Ⅱ）當a＞0時，二次函數f(x)的圖像開口向上，圖像上的點A、B的縱坐標均為-a且小于零，所以圖像x軸有兩個交點;

    當a＜0時，二次函數f(x)的圖像開口向下，圖像上的點A、B的縱坐標均為-a且大于零，所以圖像x軸有兩個交點.

    所以函數f(x)的圖像與x軸有兩個不同交點.

（Ⅲ）∵ax²+bx+c＞0的解集為{x|x＞m或x＜n}（n＜m＜0）,

∴a＞0,b＞0,c＞0

    從而方程cx²+bx+a=0的兩個根為x₁=,x₂=,則方程cx²-bx+a=0的兩個根為x₁=-,x₂=-.

    因為n＜m＜0，所以-＜-,

    故不等式cx²-bx+a＞0的解集為{x|x＞-或x＜-}.