Question

附加題：
設(shè)A、B是拋物線C：y²=2px（P＞0）上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時(shí)，證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（注：實(shí)驗(yàn)班必做，普通班選做）

Answer 1

解：OA的方程為 y=tanα•x，代入拋物線C：y²=2px，解得A（， ），同理求得B（，），
用兩點(diǎn)式求得AB的方程為 =，化簡(jiǎn)可得 y=x+，
∵α+β為定值θ，∴tanθ=，∴tanα•tanβ=，
故直線AB的方程為 y=x+- x=（x+2p）- x．
故x=-2p 時(shí)，y=，故 直線AB過(guò)定點(diǎn)（-2p， ）．
分析：把OA的方程y=tanα•x，代入拋物線C：y²=2px，求得A的坐標(biāo)，同理求得B的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求得AB的方程，利用
α+β為定值θ 化簡(jiǎn)為 y=（x+2p）- x，可得過(guò)定點(diǎn)（-2p， ）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，化簡(jiǎn)直線AB的方程為 y=（x+2p）- x，
是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．