Question

已知函數f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．
（I）求函數f（x）的最小值；
（II）設F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），討論函數F（x）的單調性；
（III）若斜率為k的直線與曲線y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數f（x）的最小值；
（II）確定函數的定義域，求導函數，對a討論，利用導數的正負，考查函數的單調區間；
（III）確定y=f′（x）的定義域，求導函數，確定y=f′（x）在（0，+∞）上為增函數，從而可得結論．
解答：（I）解：求導函數可得：f′（x）=lnx+2（x＞0）
令f′（x）＞0可得x＞e^-2；令f′（x）＜0可得0＜x＜e^-2，
∴函數在（0，e^-2）上單調減，在（e^-2，+∞）上單調增
∴x=e^-2時，函數f（x）取到最小值，最小值為-e^-2；
（II）解：設F（x）=ax²+f′（x）=ax²+lnx+2，則F′（x）=2ax+=（x＞0）
當a≥0時，∵x＞0，∴F′（x）＞0恒成立，∴函數F（x）單調增區間為（0，+∞）；
當a＜0時，∵x＞0，令F′（x）＞0，可得；令F′（x）＞0，可得
∴函數F（x）單調增區間為，單調減區間為；
（III）證明：y=f′（x）的定義域為（0，+∞）
∵f″（x）=＞0，∴y=f′（x）在（0，+∞）上為增函數
∴0＜f′（x₂）＜k＜f′（x₁）
∴
∴．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查導數的幾何意義，屬于中檔題．