Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)的最小值為，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為；的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，再令導(dǎo)數(shù)等于0，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的增減區(qū)間。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.令還是先求導(dǎo)再令導(dǎo)數(shù)等于0，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得此函數(shù)的最值。
試題解析：解：
的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033601558535.png" style="vertical-align:middle;" />.
.            2分
令，解得或（舍）.
當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，的變化情況如下：

由上表知，的單調(diào)遞增區(qū)間為；的單調(diào)遞減區(qū)間為.
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.         6分
令，則.
令，解得.                                  8分
當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，的變化情況如下：

所以函數(shù)的最大值為，即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033602026398.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.                    11分