Question

設函數f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

．
（1）當 0≤x≤

π

2

時，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）當M（a）=2時，求a的值，并對此a值求f（x）的最小值；
（3）問a取何值時，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

分析：（1）用同角公式對f（x）化簡得f（x）=-sin²x+asinx+1-

a

4

-

1

2

，設sinx=t，則函數g（t）是開口向下，對稱軸為t=

a

2

的拋物線，根據二次函數的性質，對a進行討論得出答案．
（2）M（a）=2代入（1）中的M（a）的表達式即可得出結果．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx．即

2-a

4

=sin²x+sinx，x∈[0，2π）欲使方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有兩解．則必須

2-a

4

∈（0，2）∪{-

1

4

}，從而求出a的范圍即可．

解答：解：（1）f（x）=-sin²x+asinx+1-

a

4

-

1

2

，
∵0≤x≤

π

2

∴0≤sinx≤1
令sinx=t，則f（t）=-t²+at+

2-a

4

，t∈[0，1]
∴M（a）=

3a 4 - 1 2 (a≥2) 1 2 - a 4 + a2 4 (0＜a≤2) 1 2 - a 4 (a≤0)

．
（2）當M（a）=2時，

3a

4

-

1

2

=2⇒a=

10

3

；

1

2

-

a

4

+

a2

4

=2⇒a=3或a=-2（舍）；

1

2

-

a

4

=2⇒a=-6．
∴a=

10

3

或a=-6．
①當a=-6時，f（x）_min=-5；
②當a=

10

3

時，f（x）_min=-

1

3

．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx
即-sin²x+asinx+1-

a

4

-

1

2

=（1+a）sinx，
即

2-a

4

=sin²x+sinx，x∈[0，2π）
∵sin²x+sinx∈[-

1

4

，2]，
∵方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有兩解．
∴

2-a

4

∈（0，2）∪{-

1

4

}，
∴-6＜a＜2或a=3．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用和二次函數的性質．在二次函數的性質的使用的時候要特別注意對稱軸的位置．