Question

（2013•寧波模擬）直線l過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，由P，Q分別向準(zhǔn)線引垂線PR、QS，垂足分別為R，S，如果|PF|=a，|QF|=b，M為RS的中點(diǎn)，則|MF|=（　　）

• A．a(chǎn)+b
• B．

  a+b

  2

• C．

  ab

• D．

  1

  2

  ab

Answer 1

分析：分PQ⊥x軸，和PQ與x軸不垂直兩種情況，利用拋物線的定義、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理即可得出．

解答：解：①PQ與x軸不垂直時(shí)，如圖所示，
由拋物線的定義可得|QF|=|QS|，|PF|=|PR|．
∴∠QFS=∠QSF，∠PFR=∠PRF，
由題意可得QS∥FG∥PR，∴∠SFG=∠QSF，∠RFG=∠PRF．
∴∠SFG+∠RFG=90°，∴|MF|=

1

2

|RS|．
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥QS交于點(diǎn)N，則|PN|=|RS|．
在Rt△PQN中，|PN|=

|PQ|2-|QN|2

=

((a+b)2-(b-a)2

=2

ab

．
∴|MF|=

ab

．
②當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，也可|MF|=p=a=b=

ab

．
綜上可知：|MF|=

ab

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線的定義、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理、分類討論的數(shù)學(xué)方法是解題的關(guān)鍵．