Question

（2004•虹口區一模）二次函數y=f（x）圖象交y軸于點（0，-6），圖象頂點坐標為(-

1

2

，-

25

4

)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）記F(x)=

|f(x)|-f(x)

2

，求F（x）的解析式；
（3）如直線y=2x+t與曲線y=F（x）交于三個不同的點，試確定實數t的范圍．

Answer 1

分析：（1）可設f(x)=a(x+

1

2

)2-

25

4

，其圖象交y軸于點（0，-6），從而可求a，解析式可求．
（2）由f（x）=x²+x-6=

0 (x≤-3或x≥2) -x2-x+6 (-3＜x＜2)

可求F(x)=

|f(x)|-f(x)

2

的解析式．
（3）解法1：構造函數φ（x）=x²+3x+（t-6），根據題意由混合組

△=9-4(t-6)＞0 -3＜x0=- 3 2 ＜2 φ(2)=t+4＞0 φ(-3)=t-6＞0

可求得t的取值范圍；
解法2：可采用數形結合，y=2x+t與y=-x²-x+6（-3＜x＜2）相切與y=2x+t過（-3，0），可求得t的取值范圍．

解答：解：（1）設f(x)=a(x+

1

2

)2-

25

4

，
∵其圖象交y軸于點（0，-6），∴a=1，
∴y=x²+x-6 （4分）
（2∵y=x2+x-6= 

x2+x-6(x≤-3或x≥2) -x2-x+6(-3＜x＜2)

，
∴F(x)=

|f(x)|-f(x)

2

=

0 (x≤-3或x≥2) -x2-x+6 (-3＜x＜2)

（8分）
（3）僅需y=2x+t與y=-x²-x+6在-3＜x＜2上有兩個交點．
y=2x+t代入y=-x²-x+6，得x²+3x+（t-6）=0
設φ（x）=x²+3x+（t-6），滿足上述要求，則

△=9-4(t-6)＞0 -3＜x0=- 3 2 ＜2 φ(2)=t+4＞0 φ(-3)=t-6＞0

∴6＜t＜

33

4

． （16分）
另解：數形結合，y=2x+t與y=-x²-x+6（-3＜x＜2）相切得y=

33

4

（12分）
y=2x+t過（-3，0），得t=6 （14分）
∴當6＜t＜

33

4

時，有三個交點． （16分）

點評：本題考查二次函數的性質，著重考查二次函數的解析式，考查學生的分析與轉化能力，數形結合的思想，屬于難題．