Question

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q．
（Ⅰ）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，要求求直線l的方程，我們可以根據點P的橫坐標為2，求出點P的坐標，并求出P點處函數的導數值，即過P點切線的斜率，進而得到直線l的斜率，代入點斜式方程進行求解．
（2）方法一，求線段PQ中點M的軌跡方程，我們可以分別求出直線與拋物線兩交點的坐標，代入中點公式進行化簡，得到變量x，y之間的關系，即軌跡方程；
方法二：將直線方程代入拋物線的方程，再結合韋達定理（根與系數關系）對式子進行化簡，探究變量x，y之間的關系，即軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，
∴點P坐標為（2，2）．
由，①
得y'=x，
∴過點P的切線的斜率k_切=2，
直線l的斜率k_l=-=，
∴直線l的方程為y-2=-（x-2），
即x+2y-6=0．

（Ⅱ）設
∵過點P的切線斜率k_切=x，
當x=0時不合題意，x≠0．
∴直線l的斜率k_l=-=，
直線l的方程為②
方法一：聯立①②消去y，得x²+x-x²-2=0．設Q（x₁，y₁），M（x，y）．
∵M是PQ的中點，
∴
消去x，得y=x²+（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知
上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是
方法二：
設Q（x₁，y₁），M（x，y）．則
由y=x²，y₁=x₁²，x=，
∴y-y₁=x²-x₁²=（x+x₁）（x-x₁）=x（x-x₁），
∴，∴，
將上式代入②并整理，得y=x²+（x≠0）就是所求的軌跡方程．
由x≠0知
上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是
點評：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．在使用點斜式表示過定點的直線方程時，一定要注意它不能表示斜率不存在的直線，此時與它垂直的直線斜率為0，故在使用前要對這種情況進行討論．