Question

10．已知⊙C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）求證：對任意m∈R，直線l與⊙C恒有兩個交點；
（2）求直線l被⊙C截得的線段的最短長度，及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）判斷直線l是否過定點，可將（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R轉化為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$即可確定所過的定點A（3，1）；再計算|AC|，與圓的半徑R=$\sqrt{5}$比較，判斷l與圓的位置關系；
（2）弦長最小時，l⊥AC，由k_AC=-$\frac{1}{2}$直線l的斜率，從而由點斜式可求得l的方程．

解答 解：（1）證明：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：
（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$得x=3，y=1，
故l恒過定點A（3，1）；
又圓心C（1，2），
∴|AC|=$\sqrt{5}$＜5（半徑）
∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交．
（2）∵弦長的一半、該弦弦心距、圓的半徑構成一個直角三角形，
∴當l⊥AC（此時該弦弦心距最大），直線l被圓C截得的弦長最小，
∵k_AC=-$\frac{1}{2}$，
∴直線l的斜率k_l=2，
∴由點斜式可得l的方程為2x-y-5=0．

點評 本題考查直線與圓的位置關系及恒過定點的直線，難點在于（2）中“弦長最小時，l⊥AC”的理解與應用，屬于中檔題．