Question

已知函數f（x）=ax²+x-3，g（x）=-x+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）
（1）當a=1時，求函數h（x）的極值；
（2）若函數h（x）有兩個極值點，求實數a的取值范圍；
（3）定義：對于函數F（x）和G（x），若存在直線?：y=kx+b，使得對于函數F（x）和G（x）各自定義域內的任意x，都有F（x）≥kx+b且G（x）≤kx+b成立，則稱直線?：y=kx+b為函數F（x）和G（x）的“隔離直線”．則當a=1時，函數f（x）和g（x）是否存在“隔離直線”．若存在，求出所有的“隔離直線”；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）a=1時，f（x）=x²+x-3，h（x）=x²+2x-3-4lnx，h（x）的定義域是（0，+∞），
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增
∴x=1時，h（x）取得極小值h（1）=0，h（x）無極大值．…（4分）
（2）h（x）=ax²+2x-4lnx-3，x∈（0，+∞），
依題意，方程2ax²+2x-4=0在（0，+∞）上有兩個不相等的正數解．
∴，∴
∴a的取值范圍是（-，0）…（9分）
（3）設存在，a=1時，f（x）=x²+x-3
由（1）知，當且僅當x=1時，h（x）=0，此時，f（1）=g（1）=-1
∴y=f（x）與y=g（x）的圖象有唯一的交點A（1，-1）
直線?必過點A，設?的方程：y+1=k（x-1），即y=kx-k-1
由f（x）≥kx-k-1恒成立得x²+（1-k）x+k-2≥0恒成立
∴△=（1-k）²-4（k-2）=（k-3）²≤0
∴k=3，直線?的方程：y=3x-4…（12分）
以下證明g（x）≤3x-4對x＞0恒成立
令
當x∈（0，1）時，?′（x）＜0，?（x）遞減，當x∈（1，+∞）時，?′（x）＞0，?（x）遞增，
∴?（x）的最小值為?（1）=0，∴?（x）≥0恒成立
即g（x）≤3x-4對x＞0恒成立
綜上，f（x）和g（x）存在唯一的“隔離直線”：y=3x-4…（14分）
分析：（1）確定函數的定義域，再求導函數，確定函數的單調性，從而可以求函數h（x）的極值；
（2）函數h（x）有兩個極值點，等價于導函數為0的方程有兩個不相等的正數解，利用韋達定理可解；
（3）利用新定義，先確定“隔離直線”，再進行證明即可．
點評：本題考查導數函數單調性中的應用，考查學生對新定義的理解．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用導數的性質進行求解．