Question

設向量

i

，

j

為直角坐標系的x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量

a

=（x+1）

i

+y

j

，

b

=（x-1）

i

+y

j

，且|

a

|-|

b

|=1，則滿足上述條件的點P（x，y）的軌跡方程是

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x≥0）

．

Answer 1

分析：由向量的坐標求出兩個向量的坐標表示式，然后代入|a|-|b|=1，整理后觀察發現，它表示的是到兩個定點的距離之差為1的點的軌跡，由雙曲線的定義知，P點的軌跡是以（-1，0）和（1，0）為焦點的雙曲線的右支，由定義寫出方程即可．

解答：解：∵

a

=（x+1）

i

+y

j

，

b

=（x-1）

i

+y

j

，
∴|

a

|-|

b

|=

(x+1)2+y2

-

(x-1)2+y2

=1，
滿足上述條件的點P（x，y）的軌跡是以（-1，0）和（1，0）為焦點的雙曲線的右支，
∴c=1，2a=1，
∴b2=c2-a2=1-

1

4

=

3

4

，
∴方程是

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x≥0）．
故答案為：

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x≥0）．

點評：本題考查向量的坐標表示及向量的模的計算公式，雙曲線的定義，綜合性較強，知識點覆蓋廣闊，是一道好題．易錯點是容易忽視x的取值范圍．