Question

已知

a

=(2sinωx，cosωx+sinωx)，

b

=(cosωx，cosωx-sinωx)，（ω＞0），
函數(shù)f(x)=

a

•

b

，且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出函數(shù)f（x），再由最小正周期確定ω的值即可．
（2）由三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的整體思想即可得到答案．

解答：解：（I）f(x)=

a

•

b

=(2cosωxsinωx)2+(cosωx+sinωx)(cosωx-sinωx)
=sin2ωx+cos2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最小正周期為π，
所以

2π

2ω

=π?ω=1∴f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)
（2）∵f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)
當(dāng)-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ時(shí)-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ
因?yàn)閤∈[0，

π

2

]，∴0≤x≤

π

8

故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為：[0，

π

8

]
同理可得函數(shù)f（x）的減區(qū)間為：[

π

8

，

π

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題．