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精英家教網(wǎng)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC,F(xiàn)為BB1上一點,BF=BC=2,F(xiàn)B1=1,D為BC中點,E為線段AD上不同于點A、D的任意一點.
(Ⅰ)證明:EF⊥FC1
(Ⅱ)若AB=
2
,求DF與平面FA1C1所成的角.
分析:(1)要證C1F⊥EF,只需證明C1F⊥平面DEF,由AB=AC,D為BC的中點可得AD⊥BC,由BB1⊥平面ABC  可得BB1⊥AD,由AD⊥平面B1BCC1  可得AD⊥FC1,然后根據(jù)已知可證C1F⊥FD,根據(jù)線面垂直的判定定理
可得
(2)設(shè)DF與平面FA1C1所成的角為θ,點D到FA1C1的距離為h,利用等體積法可求h,由sinθ=
h
DF
可求
解答:解:(1)AB=AC,D為BC的中點∴AD⊥BC
∵BB1⊥平面ABC∴BB1⊥AD
∴AD⊥平面B1BCC1∴AD⊥FC1
∵BC=BF=2∴DB=1,又 FB1=1
∴Rt△DBF∽Rt△FB1C1∠DFB+∠C1FB1=
π
2
∠DFC1=
π
2

∴C1F⊥FD∵FD∩AD=D
∴C1F⊥平面DEF∴C1F⊥EF
(2)設(shè)點D到FA1C1的距離為h
由(1)知C1F⊥FD
用等體積法可知
1
3
×
1
2
×C1A1×A1F•h=
1
3
×
1
2
×AD×DF×FC1

3
×
2
h=1×
5
×
5
h=
5
6
6

設(shè)DF與平面FA1C1所成的角為θ
sinθ=
h
DF
=
30
6

∴DF與平面FA1C1所成的角arcsin
30
6
點評:本題主要考查了線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)換的應(yīng)用,而(2)問的求解主要是利用了等體積法求解點到面的距離,這是求解距離的常用方法,避免了做垂線的難點,求而不作.
練習冊系列答案
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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]

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(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

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P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

 

 

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如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA。
(I)求證:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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