Question

數列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n項和，且S_n+1=S_n+n，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若，求數列{b_n}的通項公式；
（III）若，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+n，n∈N^*得a_n+1=S_n+1-S_n=n，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由S₁=a₁=1，S_n+1=S_n+n，利用疊加法得，由此得到數列{b_n}的通項公式．
（III），T_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，再由錯位相減求和法能得到數列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+n，n∈N^*得a_n+1=S_n+1-S_n=n
所以，（3分）
（Ⅱ）由S₁=a₁=1，S_n+1=S_n+n，利用疊加法得（6分）
（8分）
（III）（9分）
T_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①
2T_n=，1×2²+2×2³++（n-2）•2^n-2+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得T_n
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意通項公式的求法和裂項求和法的運用．