Question

已知函數f(x)與函數y=(a＞0)的圖象關于直線y=x對稱.

(1)試用含a的代數式表示函數f(x)的解析式，并指出它的定義域；

(2)數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，a_n＞a₁.數列{b_n}中，b₁=2，S_n=b₁+b₂+…+b_n.點P_n(a_n,) (n=1,2, 3,…)在函數f(x)的圖象上，求a的值；

(3)在(2)的條件下，過點P_n作傾斜角為的直線l_n，則l_n在ｙ軸上的截距為(b_n+1)(n=1,2, 3,…)，求數列{a_n}的通項公式.

Answer 1

解：(1)由題可知：f(x)與函數y=(a＞0)互為反函數，∴f(x)=+1，(x≥0).  

(2)∵點P_n(a_n,)(n=1,2,3,…)在函數f(x)的圖象上，

∴+1(n=1,2,3,…)(*)

在上式中令n=1可得：S₁=+1，又∵a₁=1,S₁=b₁=2，代入可解得：a=1.∴f(x)=x²+1，(*)式可化為：=a_n²+1(n=1,2,3,…).                                                

(3)直線l_n的方程為：y=x-a_n，(n=1,2,3,…)，①

在其中令x=0，得y=-a_n，又∵l_n在ｙ軸上的截距為(b_n+1)，∴-a_n=(b_n+1)，結合①式可得：b_n=3a_n²-3a_n+2.                                                          ②

由①可知：當自然數n≥2時，S_n=na_n²+n，S_n-1=(n-1)_an-1²+n-1，兩式作差得：b_n=na_n²-(n-1)a_n-1²+1

結合②式得：(n-3)a_n²+3a_n=(n-1)a_n-1²+1(n≥2,n∈N^*).③

在③中，令n=2，結合a₁=1，可解得：a₂=1或2.

又∵當n≥2時，a_n＞a₁，∴舍去a₂=1，得a₂=2.

同上，在③中，依次令n=3,n=4，可解得：a₃=3,a₄=4.

猜想：a_n=n(n∈N^*).下用數學歸納法證明：

(ⅰ)n=1,2,3時，由已知條件及上述求解過程知顯然成立.

(ⅱ)假設n=k時命題成立，即a_k=k(k∈N,且k≥3)，則由③式可得：

(k-2)a_k+1²+3a_k+1=kak²+1，把a_k=k代入上式并解方程得：a_k+1=或k+1,

由于k≥3,∴＜0，∴a_k+1=.

不符合題意，應舍去，故只有a_k+1=k+1.

所以，n=k+1時命題也成立.

綜上可知：數列{a_n}的通項公式為a_n=n(n∈N^*).