Question

A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子，且x+y+z=6（x，y，z∈N），B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球，規定：當兩球同色時A勝，異色時B勝；
（1）用x，y，z表示A勝的概率；
（2）若又規定當A取紅、白、黃球而勝的得分分別為1、2、3分，否則得0分，求A得分的期望最大值及此時x，y，z的值．

Answer 1

（1）∵P（A勝）=P（A、B均取紅球）+P（A、B均取白球）+P（A、B均取黃球）
又∵A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子，且x+y+z=6
B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子
∴P（A勝）=

x

6

×

3

6

+

y

6

×

2

6

+

z

6

×

1

6

=

1

36

（3x+2y+z）
（2）設A的得分為隨機變量ξ，則
 P（ξ=3）=

z

6

×

1

6

=

z

36

，
P(ξ=2)=

y

6

×

2

6

=

2y

36

P(ξ=1)=

x

6

×

3

6

=

3x

36

，
P(ξ=0)=1-

3x+2y+z

36

Eξ=3×

z

36

+2×

2y

36

+1×

3x

36

+0=

3z+4y+3x

36

=

3(x+y+z)+y

36

=

1

2

+

y

36

∵x，y，z∈N且x+y+z=6又0≤3x+2y+z≤36
∴當y=6時，Eξ取值最大值為

2

3

，此時x=z=0