Question

某城市在發展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關注，據有關統計數據顯示，從上午6點到中午12點，車輛通過該市某一路段的用時y（分鐘）與車輛進入該路段的時刻t之間關系可近似地用如下函數給出：y=

- 1 8 t3- 3 4 t2+36t- 629 4 ，(6≤t＜9) t 8 + 55 4 ，(9≤t≤10) -3t2+66t-345，(10＜t≤12)

．求從上午6點到中午12點，通過該路段用時最多的時刻．

Answer 1

分析：根據所給的分段函數，要求函數的最大值，需要求出每一段上的最大值再進行比較，在函數的第一段，所給的是一個三次函數式，需要利用導數來求函數的最大值，第二段是一個一次函數，直接根據函數的單調性來做，第三段是一個二次函數，根據根據二次函數的性質來做，對于三段做出的函數值進行比較，得到結果．

解答：解：根據所給的分段函數，要求函數的最大值，需要求出每一段上的最大值再進行比較，
當6≤t＜9時．
y′=-

3

8

t2-

3

2

t+36，(2分)=-

3

8

(t+12)(t-8)．
令y'=0，得t=-12或t=8．，（3分）
當6≤t＜8時，y'＞0，當8＜t＜9時，y'＜0，
所以當t=8時，y有最大值，（5分）
y_max=18.75（分鐘），（6分）
當9≤t≤10時，y=

1

8

t+

55

4

是增函數，
∴當t=10時，y_max=15（分鐘）．，（8分）
當10＜t≤12時，
y=-3（t-11）²+18，
∴當t=11時，y_max=18（分鐘）．，（11分）
綜上所述上午8時該路段所用的最多．

點評：本題考查利用導數求函數的最值和分段函數的最值的求法，本題解題的關鍵是首先對于所給的三段上的函數求出最值，再比較三個最值的大小，三個最值種最大的結果即為所求．