Question

15．已知函f（x）數的導數f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b為實數，1＜a＜2．若f（x）在區間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，則a-b的值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由函數的導函數得到原函數為f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ ax²+b，根據f（x）在區間[-1，1]上的單調性求其最大值和最小值，由最小值、最大值分別為-2、1求a、b的值；

解答 解：由已知得，f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a．
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（0，1]時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區間[-1，1]上的最大值為f（0）=b，
∴b=1，
又f（1）=1-$\frac{3}{2}$a+1=2-$\frac{3}{2}$a，
f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+1=-$\frac{3}{2}$a，
∴f（-1）＜f（1）．即-$\frac{3}{2}$a=-2，得a=$\frac{4}{3}$，
故a=$\frac{4}{3}$，b=1，故a-b=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，訓練了分類討論的數學思想方法，是中檔題．