Question

某蔬菜基地種植西紅杮，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅杮市場售價與上市時間的關系用圖①的一條折線表示；西紅杮的種植成本與上市時間的關系用圖②的拋物線段表示.

（1）寫出圖①表示的市場售價與時間的函數關系式P=f（t）；寫出圖②表示的種植成本與時間的函數關系式Q=g（t）；

（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅杮收益最大？

（注：市場售價和種植成本的單位：元/10² kg，時間單位：天）

Answer 1

解析：解此題，應先由函數的圖象建立函數關系式f（t）、g（t），然后求函數的最大值，把喜聞樂見的一個實際問題轉化成一個數學問題.

解：（1）由圖①可知，市場售價與時間的函數關系為

f（t）=

    由圖②可得種植成本與時間的函數關系為

g（t）=（t-150）²+100（0≤t≤300）.

（2）設t時刻的純收益為h（t），則由題意得

h(t)=f(t)-g(t)=

    討論：①當0≤t≤200時，配方整理，得

h（t）=-（t-50）²+100,

∴當t=50時，h（t）在區間［0，200］上取得最大值100；

②當200＜t≤300時，配方整理，得h（t）=-（t-350）²+100,

∴當t=300時，h（t）在區間（200，300］上取得最大值87.5.

    綜合以上討論，由100＞87.5，可知h（t）在區間［0，300］上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅杮收益最大.