Question

已知拋物線的頂點為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心．橢圓的離心率是拋物線離心率的一半，且它們的準線互相平行．又拋物線與橢圓交于點M(

2

3

，-

2 6

3

)，求拋物線與橢圓的方程．

Answer 1

分析：設出拋物線方程，代入M的坐標，可得拋物線的方程，利用橢圓的離心率是拋物線離心率的一半，代入M的坐標，求得幾何量，即可得到結論．

解答：解：由題意，設拋物線的方程為y²=2px（p＞0），則
將M(

2

3

，-

2 6

3

)代入方程可得

8

3

=2p×

2

3

，∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x
∵橢圓的離心率是拋物線離心率的一半，
∴e=

c

a

=

1

2

∵

4 9

a2

+

8 3

b2

=1，a²=b²+c²
∴a=2，b=

3

∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1

點評：本題考查拋物線、橢圓的標準方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題．