Question

設函數f（x）=kx²+2x（k為實常數）為奇函數，函數g（x）=a^f（x）-1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求g（x）在[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）當a=

2

時，g（x）≤t²-2mt+1對所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數是奇函數，建立方程，即可求k的值；
（Ⅱ）對a分類討論，確定函數的單調性，即可求g（x）在[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）當a=

2

時，g（x）≤t²-2mt+1對所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立，等價于1≤t²-2mt+1在[-1，1]上恒成立，構建新函數，即可求實數t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（-x）=-f（x）得 kx²-2x=-kx²-2x，
∴k=0．（2分）
（Ⅱ）∵g（x）=a^f（x）-1=a^2x-1=（a²）^x-1（13分）
①當a²＞1，即a＞1時，g（x）=（a²）^x-1在[-1，2]上為增函數，∴g（x）最大值為g（2）=a⁴-1．（5分）
②當a²＜1，即0＜a＜1時，∴g（x）=（a²）^x在[-1，2]上為減函數，
∴g（x）最大值為g(-1)=

1

a2

-1．（7分）
∴g(x)max=

a4-1 ，  a＞1 1 a2 -1 ， 0＜a＜1

（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[-1，1]上的最大值為g(1)=(

2

)2-1=1，
∴1≤t²-2mt+1即t²-2mt≥0在[-1，1]上恒成立（10分）
令h（m）=-2mt+t²，∴

h(-1)=t2+2t≥0 h(1)=t2-2t≥0

即

t≤-2或t≥0 t≤0或t≥2.

所以t∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．（14分）

點評：本題考查函數的奇偶性，考查函數的最值，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．