Question

已知數列{a_n}滿足∵(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)nan=

9

10

（n²+3n）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）分析數列{a_n}有沒有最大項，若有，求出這個最大項；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{a_n}為遞增數列，即可得到數列沒有最大項．

解答：解：（1）∵(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)nan=

9

10

（n²+3n）①
∴n≥2時，(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)n-1an-1=

9

10

[（n-1）²+3（n-1）]②
①-②可得(

9

10

)nan=

9

10

（2n+2）
∴n≥2時，an=2(n+1)•(

9

10

)1-n
∵n=1時，(

9

10

)a1=

9

10

×4，∴a₁=4，滿足上式
∴an=2(n+1)•(

9

10

)1-n；
（2）∵

an+1

an

=

2(n+2)•( 9 10 )-n

2(n+1)•( 9 10 )1-n

=

10

9

×(1+

1

n+1

)＞1，a_n＞0
∴a_n+1＞a_n
∴數列{a_n}為遞增數列，因此數列沒有最大項．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查數列的單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．