Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）證明f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）可知定義域?yàn)镽，進(jìn)而可得f（-x）=-f（x），可判奇函數(shù)；
（2）用單調(diào)性的定義法，設(shè)任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，化簡可得f（x₁）-f（x₂）＜0，由單調(diào)性的定義可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意可知定義域?yàn)閤∈R，
而f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

(a-x-1)•ax

(a-x+1)•ax

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，
∴（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

，
∵a＞1，∴ax1＜ax2，且ax1+1＞0，ax2+1＞0
∴

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性，和單調(diào)性的判斷與證明，屬基礎(chǔ)題．