Question

已知函數f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）證明f（x）是R上的增函數；
（3）求函數f（x）在[0，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據函數的定義域為x∈R，且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數．
（2）設x₁＜x₂，根據f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）是R上的增函數．
（3）根據函數f（x）在[0，1]上是增函數，求得函數f（x）在[0，1]上的值域．

解答：解：（1）∵定義域為x∈R，且f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，∴f（x）是奇函數．
（2）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

，
∵a＞1，∴ax1＜ax2，且ax1+1＞0，ax2+1＞0，∴

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數．
（3）∵函數f（x）在（-∞，+∞）內是增函數，∴函數f（x）在[0，1]上也是增函數．
∴f（x）_min=f（0）=0，f（x）_max=f（1）=

a-1

a+1

，
∴函數f（x）在[0，1]上的值域為[0，

a-1

a+1

]．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷，函數的單調性的判斷和證明，利用函數的單調性求函數的值域，屬于中檔題．