Question

設函數f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，f（x）在x=1處可導且f'（1）=2，對任意a，b∈R₊都有f（ab）=af（b）+bf（a），則（1）f（1）=    （2）f（x）=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對任意a，b∈R₊都有f（ab）=af（b）+bf（a），令a=b=1代入函數的關系式得到f（1）=f（1）+f（1），移項得到結果．
（2）令a=x，b=，再利用導數f'（1）=2，可以求得．
解答：解：（1）函數f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，對任意a，b∈R₊都有f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=b=1，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）f（x）在x=1處可導且f'（1）=2，
f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=x，b=，∴f（1）=xf（）+
即xf（）+=0 ①，從而易得f（x）=2xlnx，
故答案為（1）0；（2）2xlnx．
點評：本題考查函數的解析式的求法，本題解題的關鍵是對于函數式的使用條件要注意，可以給這種題目根據需要賦值．