Question

3．已知函數f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x的定義域為區間[0，1]，求：
（1）g（x）的解析式
（2）g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據指數冪和反函數的關系建立方程求出3^a=2，代入g（x）即可，
（2）利用換元法，結合一元二次函數的性質進行求解．

解答 解：（1）∵f^-1（18）=a+2，∴f（a+2）=18，
即3^a+2=18，即9×3^a=18，即3^a=2，
即g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，x∈[0，1]，
（2）g（x）=-（2^x）²+2^x，
設t=2^x，x∈[0，1]，
則t∈[1，2]，
則函數等價為y=-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵t∈[1，2]，
∴函數在t∈[1，2]上是減函數，
則當t=1時，函數取得最大值，此時y=-1+1=0，
當t=2時，函數取得最小，此時y=-4+2=-2，
則函數的值域是[-2，0]．

點評 本題主要考查函數解析式的求解以及函數值域的計算，利用換元法以及反函數的關系求出函數的解析式是解決本題的關鍵．