Question

（在(x+

1

3 x

)n的展開式中，倒數(shù)第8項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)．
（1）求n的值；
（2）求和：

C 1 n

C 0 n

+

2 C 2 n

C 1 n

+

3 C 3 n

C 2 n

+…+

n C n n

C n-1 n

=？．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出倒數(shù)第8項(xiàng)，令其x的指數(shù)為0，求出n
（2）先利用組合數(shù)公式求數(shù)列的通項(xiàng)

k C n k

C n k-1

，知數(shù)列是等差數(shù)列，再求出其前28項(xiàng)和．

解答：解：（1）倒數(shù)第8項(xiàng)是順數(shù)第n-6項(xiàng)，
得Tn-6=

C

n-7 n

x7(x-

1

3

)n-7=

C

7 n

x

28-n

3

，
x的次數(shù)是：

28-n

3

=0，
解得n=28，
（2）當(dāng)n=28時(shí)，由于

k C k n

C k-1 n

=

k•n!

(n-k)!•(k-1)!

÷

k•n!

(n-k)!•(k-1)!

=n+1-k=29-k，
且k=1，2，…，28．
所以：

C 1 n

C 0 n

+

2 C 2 n

C 1 n

+

3 C 3 n

C 2 n

++

n C n n

C n-1 n

=（29-1）+（29-2）+…+（29-28）=406

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題、組合數(shù)的公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．