Question

（2013•黃埔區一模）已知F是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點，O是雙曲線C的中心，直線y=

m

x是雙曲線C的一條漸近線．以線段OF為邊作正三角形MOF，若點M在雙曲線C上，則m的值為

3+2

3

．

Answer 1

分析：依題意，m=

b2

a2

，M（

1

2

c，

3

2

c），將M點的坐標代入雙曲線方程可得到關于m的方程，解之即可．

解答：解：∵F（c，0）是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點，直線y=

m

x是雙曲線C的一條漸近線，
又雙曲線C的一條漸近線為y=

b

a

x，
∴m=

b2

a2

，
又點M在雙曲線C上，△MOF為正三角形，
∴M（

1

2

c，

3

2

c），
∴

( 1 2 c)2

a2

-

( 3 2 c)2

b2

=1，又c²=a²+b²，
∴

a2+b2

4a2

-

3(a2+b2)

4b2

=1，
即

1

4

+

1

4

m-

3

4

-

3

4m

=1，
∴m²-6m-3=0，又m＞0，
∴m=3+2

3

．
故答案為：3+2

3

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查其漸近線方程，考查代入法與解方程的能力，屬于難題．