Question

已知y=2x²-2ax+3在區間[-1，1]上的最小值是f（a），試求f（a）的解析式，并說明當a∈[-2，1]時，g(a)=log

1

2

f(a)的單調性．

Answer 1

分析：本題要先求出函數的對稱軸，由對稱軸與區間的位置關系確定出最小值在何處取到，分段求出最小值，最后用分段的形式表示出f（a）的解析式，根據所求的解析式由復合函數的單調性判斷規則得出a∈[-2，1]時，g(a)=log

1

2

f(a)的單調性即可．

解答：解：y=2x²-2ax+3的對稱軸是x=

a

2

，
當

a

2

＜-1時，即a∈（-∞，-2）時，y=2x²-2ax+3在區間[-1，1]上是增函數，故f（a）=f（-1）=5+2a
當

a

2

∈[-1，1]，即a∈[-2，2]，y=2x²-2ax+3在區間[-1，1]上先減后增，故f（a）=f（

a

2

）=3-

a 2

2

當

a

2

＞1，即a∈（2，+∞）時，y=2x²-2ax+3在區間[-1，1]上是減函數，故f（a）=f（1）=5-2a
 故f（a）=

5+2a  a∈(-∞，-2) 3- a2 2  a∈[-2，2] 5-2a  ，a∈(2，+∞)

當a∈[-2，1]時，f（a）=f（

a

2

）=3-

a 2

2

，函數在[-2，0]上是增函數，在[0，1]是減函數，
a∈[-2，1]時，g(a)=log

1

2

f(a)，外層函數是減函數，由復合函數單調性判斷規則知
g(a)=log

1

2

f(a)在[-2，0]上是減函數，在[0，1]是增函數．

點評：本題考點是復合函數的單調性，用分類討論的方法研究函數在閉區間上的最值問題，再由復合函數的單調性判斷函數在閉區間上的單調性問題，本題綜合考查了復合函數單調性的判斷規則，綜合性較強．