Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，且5a_n+1-2a_na_n+1+3a_n=8（m∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通項公式，并用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，且5a_n+1-2a_na_n+1+3a_n=8，即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中a₁，a₂，a₃，a₄的值可猜想a_n=

4n-3

2n-1

，再用數學歸納法證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，5a_n+1-2a_na_n+1+3a_n=8，
∴5a₂-2a₁a₂+3a₁=8，
∴3a₂=5，
∴a₂=

5

3

．
同理可得，a₃=

9

5

，a₄=

13

7

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想，a_n=

4n-3

2n-1

，（n∈N^*）
（Ⅱ）證明：當n=1時，a₁=1，等式成立；
假設n=k時，a_k=

4k-3

2k-1

，
則n=k+1時，由5a_k+1-2a_ka_k+1+3a_k=8得：
a_k+1=

8-3ak

5-2ak

=

8-3× 4k-3 2k-1

5-2× 4k-3 2k-1

=

8(2k-1)-12k+9

5(2k-1)-8k+6

=

4k+1

2k+1

=

4(k+1)-3

2(k+1)-1

，
即n=k+1時，等式也成立；
綜上所述，對任意n∈N^*，a_n=

4n-3

2n-1

．

點評：本題考查數學歸納法，猜得數列{a_n}的通項公式a_n=

4n-3

2n-1

是關鍵，考查推理分析與運算、證明能力，屬于中檔題．