Question

【題目】已知函數在上是減函數，在上是增函數，函數在上有三個零點．

（1）求的值；

（2）若1是其中一個零點，求的取值范圍；

（3）若，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g(x)相切？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) b=0；(2) (,+∞)；⑶過點（2，5）可作2條曲線y=g(x)的切線

【解析】試題分析：（1）由題意得 ，即得b=0.（2）由f(1)=0，得c=1a，所以f(2)= 3a7，根據在上有三個零點可得的取值范圍，代入可得的取值范圍；（3）先設切點，根據導數幾何意義可求切線方程，轉化研究方程解的個數，令h(x)= ，則利用導數可得函數先減后增，結合零點存在定理可得函數有兩個零點，即可作2條切線

試題解析：(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c，

∴f′(x)=3x2+2ax+b，

∵f(x)在(∞,0)上是減函數,在(0,1)上是增函數，

∴當x=0時,f(x)取到極小值,即.

∴b=0.

(2)由(1)知f(x)=x3+ax2+c，

∵1是函數f(x)的一個零點,即f(1)=0，

∴c=1a，

∵f′(x)=3x2+2ax=0的兩個根分別為x1=0,x2=，

f(x)在(0,1)上是增函數,且函數f(x)在R上有三個零點，

∴x2=>1,解得，

∴f(2)=8+4a+(1a)=3a7>，

∴f(2)的取值范圍是(,+∞).

⑶=2x+lnx，設過點（2，5）與曲線g (x)的切線的切點坐標為

∴，即

∴，令h(x)= ，∴==0，∴

∴h(x)在（0，2）上單調遞減，在（2， ）上單調遞增

又，h(2)=ln2-1<0，

∴h(x)與x軸有兩個交點，∴過點（2，5）可作2條曲線y=g(x)的切線.