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如圖,已知四棱錐S-ABCD中,△SAD是邊長為a的正三角形,平面SAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,P為AD的中點,Q為SB的中點.
(Ⅰ)求證:PQ∥平面SCD;
(Ⅱ)求二面角B-PC-Q的大小.

【答案】分析:(1)取SC的中點R,連QR,DR,PD∥BC且PD=BC,QR∥BC且QP=BC,由公理4得PQ∥DR,從而有PQ∥面SCD.
(2)以P為坐標原點,PA為x軸,PB為y軸,PS為z軸建立空間直角坐標系,只要求得兩半平面的一個法向量即可,先求得相關點的坐標,進而得到相關向量的坐標,然后用向量的夾角公式求解.
解答:證明:(1)證明取SC的中點R,連QR,DR.
由題意知:PD∥BC且PD=BC;
QR∥BC且QP=BC,∴QR∥PD且QR=PD.∴PQ∥DR,又PQ?面SCD,∴PQ∥面SCD.(6分)
(2)解:以P為坐標原點,PA為x軸,PB為y軸,PS為z軸建立空間直角坐標系,
則S(0,0,a),B(0,a,0),C(-a,a,0),Q(0,a).
面PBC的法向量為=(0,0,a),設為面PQC的一個法向量,

cos<
∴二面角B-PC-Q的大小為arccos.(12分)
點評:本題主要考查線線,線面,面面平行關系的轉化及平面圖形的應用,還考查了向量法在求二面角中的應用,屬中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形,SA⊥平面ABCD,SA=2,E是側棱SC上的一點.
(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;
(2)求四棱錐S-ABCD的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形,S在底面上的射影O落在正方形ABCD內,SO的長為3,O到AB,AD的距離分別為2和1,P是SC的中點.
(Ⅰ)求證:平面SOB⊥底面ABCD;
(Ⅱ)設Q是棱SA上的一點,若
AQ
=
3
4
AS
,求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成,其中SD=DA=AB=BC=l,AS∥BC,AB⊥AD,且二面角S-CD-A的大小為120°.
(Ⅰ)求證:平面ASD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設側棱SC和底面ABCD所成角為θ,求θ的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•湖北模擬)如圖,已知四棱錐S-ABCD中,△SAD是邊長為a的正三角形,平面SAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,P為AD的中點,Q為SB的中點.
(Ⅰ)求證:PQ∥平面SCD;
(Ⅱ)求二面角B-PC-Q的大小.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2010•江西模擬)(如圖)已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形,將面SAB,SAD,ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC.
(1)求證:在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD.
(2)若AC長等于6,求異面直線AB與SC之間的距離.

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同步練習冊答案
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