Question

已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設向量

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），

p

=（b-2，a-2）．
（1）若

m

∥

n

，試判斷△ABC的形狀并證明；
（2）若

m

⊥

p

，邊長c=2，∠C=

π

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

n

可得asinA=bsinB，再利用正弦定理即可證明結論；
（2）由

m

⊥

p

可得a+b=ab，再利用余弦定理可得到（ab）²-3ab-4=0，解此方程即可求得ab的值，從而可求得△ABC的面積．

解答：解：（1）ABC為等腰三角形；
證明：∵

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），

m

∥

n

，
∴asinA=bsinB，
即a•

a

2R

=b•

b

2R

，其中R是△ABC外接圓半徑，
∴a=b--------（5分）
∴△ABC為等腰三角形--------（6分）
（2）∵

p

=（b-2，a-2），由題意可知

m

⊥

p

，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab--------（8分）
由余弦定理可知，4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
即（ab）²-3ab-4=0，
∴ab=4或ab=-1（舍去）---------（10分）
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×4×sin

π

3

=

3

．----------（12分）

點評：本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理與余弦定理的綜合應用，考查解方程的能力，屬于中檔題．