Question

甲、乙兩射擊運動員進行射擊比賽，射擊次數相同，已知兩運動員擊中的環數ξ穩定在7，8，9，10環，他們比賽成績的頻率分布條形圖如下：（如果將頻率近似的看作概率）
（I）估計乙運動員擊中8環的概率，并求甲、乙同時擊中9環以上（包括9環）的概率．
（II）求甲運動員擊中環數ξ的概率分布列及期望；若從甲、乙運動員中只能挑選一名參加某大型比賽，你認為讓誰參加比較合適？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）記“甲運動員擊中i環”為事件A_i；“乙運動員擊中i環”為事件B_i（i=1，2，3，…，10），P（B₈）=1-P（B₇）-P（B₉）-P（B₁₀）=0.25．P（A₉）+P（A₁₀）=0.65，P（B₉）+P（B₁₀）=0.55，由此能求出甲、乙同時擊中9環以上（包括9環）的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值：7、8、9、10．分別求出甲運動員射擊環數ξ的概率分布列、期望而卻步和乙運動員射擊環數ξ的概率分布列、期望可知選甲去比較合適．
解答：解：（Ⅰ）記“甲運動員擊中i環”為事件A_i；“乙運動員擊中i環”為事件B_i（i=1，2，3，…，10）
∴P（B₈）=1-P（B₇）-P（B₉）-P（B₁₀）=1-0.2-0.2-0.35=0.25．（2分）
∵P（A₉）+P（A₁₀）=1-0.15-0.2=0.65，P（B₉）+P（B₁₀）=0.2+0.35=0.55，
∴甲、乙同時擊中9環以上（包括9環）的概率：0.65×0.55=0.3575．（6分）
（Ⅱ）ξ的可能取值：7、8、9、10．
甲運動員射擊環數ξ的概率分布列為：

ξ	7	8	9	10
P	0.2	0.15	0.3	0.35

甲運動員射擊環數ξ的期望E₁ξ=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8．（9分）
乙運動員射擊環數ξ的概率分布列為：

ξ	7	8	9	10
P	0.2	0.15	0.2	0.35

乙運動員射擊環數ξ的期望E₂ξ=7×0.2+8×0.15+9×0.2+10×0.35=7.9
從以上分析可知選甲去比較合適（12分）
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率計算公式的合理運用．