Question

已知橢圓的一個頂點到其左、右兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離分別為5和1；點P是橢圓上一點，且在x軸上方，直線PF₂的斜率為．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），利用P到其左、右兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離分別為5和1，且在x軸上方，直線PF₂的斜率為，建立方程組，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）△F₁PF₂的面積=×2c×y，由此可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則a-c=1，a+c=5
∴a=3，c=2
∴=
∵P到其左、右兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離分別為5和1，且在x軸上方，直線PF₂的斜率為．
∴，∴
∵P到其左、右兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離分別為5和1，∴2a=6，∴a=3
∴b²=a²-c²=
∴橢圓E的方程為；
（Ⅱ）△F₁PF₂的面積=×2c×y==．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查三角形的面積的計算，屬于中檔題．