Question

已知兩個向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(2

2

+sinx，2

2

-cosx)，f(x)=

a

•

b

，x∈[0，π]．
（1）求f（x）的值域；
（2）若

a

•

b

=1，求cos(x+

7π

12

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積的坐標運算，計算化簡，將f（x）化為一角一函數形式，再求值域．
（2）若

a

•

b

=1，得出sin(x+

π

4

)=

1

4

，且判斷出x為鈍角，將x+

7π

12

化成（x+

π

4

）+

π

3

，再利用兩角和的余弦公式計算求解．

解答：解：（1）由已知得f(x)=

a

•

b

=cosx（2

2

+sinx）+sinx（2

2

-cosx）=2

2

(sinx+cosx)=4sin(x+

π

4

)
∵x∈[0，π]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]∴f(x)∈[-2

2

，4]
（2）由

a

•

b

=1，sin(x+

π

4

)=

1

4

又x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
若x為銳角，則sin(x+

π

4

)≥

2

2

，矛盾，舍去
所以x為鈍角，∴cos(x+

π

4

)=-

15

4

，cos(x+

7π

12

)=cos[(x+

π

4

)+

π

3

]=cos(x+

π

4

)cos

π

3

- sin(x+

π

4

)sin

π

3

=-

3 + 15

8

點評：本題考查三角函數公式的應用，三角函數的性質，向量的坐標運算．在（2）將x+

7π

12

化成（x+

π

4

）+

π

3

，再利用兩角和的余弦公式計算 是關鍵．