Question

如下圖，α和β為平面，α∩β＝l，A∈α，B∈β，AB＝5，A，B在棱l上的射影分別為，，A＝3，B＝2．若二面角α―l―β的大小為，求：

(Ⅰ)點(diǎn)B到平面α的距離；

(Ⅱ)異面直線l與AB所成的角(用反三角函數(shù)表示)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如下圖，過(guò)點(diǎn)B′C∥A′A且使B′C＝A′A．過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CB′，交CB′的延長(zhǎng)線于D． 　　由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，從而BD⊥平面α，BD之長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面α的距離． 　　因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C為二面角α－l－β的平面角．由題意，∠BB′C＝．因此在Rt△BB′D中，BB′＝2，∠BB′D＝π－∠BB′C＝，BD＝BB′·sinBB′D＝． 　　(Ⅱ)連接AC、BC．因B′C∥A′A，B′C＝A′A，AA′⊥l，知A′ACB′為矩形，故AC∥l．所以∠BAC或其補(bǔ)角為異面直線l與AB所成的角． 　　在△BB′C中，B′B＝2，B′C＝3，∠BB′C＝，則由余弦定理， 　　BC＝． 　　因BD平面，且DCCA，由三策劃線定理知ACBC． 　　故在△ABC中，∠BCA＝，sinBAC＝． 　　因此，異面直線l與AB所成的角為arcsin