Question

如圖，已知橢圓C：的離心率為，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，得a=2，，由此能求出橢圓C的方程．
（2）法一：點M與點N關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），設y₁＞0．由于點M在橢圓C上，故．由T（-2，0），知=，由此能求出圓T的方程．
法二：點M與點N關于x軸對稱，故設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），設sinθ＞0，由T（-2，0），得=，由此能求出圓T的方程．
（3）法一：設P（x，y），則直線MP的方程為：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能夠證明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值． 
法二：設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），設sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．則直線MP的方程為：，由此能夠證明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．
解答：解：（1）依題意，得a=2，，
∴c=，b==1，
故橢圓C的方程為．…（3分）
（2）方法一：點M與點N關于x軸對稱，
設M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨設y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，所以．     （*）          …（4分）
由已知T（-2，0），則，，
∴
=（x₁+2）²-
=
=．…（6分）
由于-2＜x₁＜2，
故當時，取得最小值為．
由（*）式，，故，
又點M在圓T上，代入圓的方程得到．
故圓T的方程為：．…（8分）
方法二：點M與點N關于x軸對稱，
故設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設sinθ＞0，由已知T（-2，0），
則
=（2cosθ+2）²-sin²θ
=5cos²θ+8cosθ+3
=．…（6分）
故當時，取得最小值為，
此時，
又點M在圓T上，代入圓的方程得到．
故圓T的方程為：． …（8分）
（3）方法一：設P（x，y），
則直線MP的方程為：，
令y=0，得，
同理：，…（10分）
故      （**） …（11分）
又點M與點P在橢圓上，
故，，…（12分）
代入（**）式，
得：．
所以|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．               …（14分）
方法二：設M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），
不妨設sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．
則直線MP的方程為：，
令y=0，得，
同理：，…（12分）
故．
所以|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．…（14分）
點評：本題考查橢圓的方程和幾何性質、圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想．