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(本小題滿分12分)
已知:函數y=f (x)的定義域為R,且對于任意的a,b∈R,都有f (a+b)=f (a)+f (b),且當x>0時,f (x)<0恒成立.
證明:(1)函數y=f (x)是R上的減函數.
(2)函數y=f (x)是奇函數.

解析試題分析:(1)設x1>x2,則x1-x2>0,而f (a+b)=f (a)+f (b),
所以f (x1)=f (x1-x2+x2)=f (x1-x2)+f (x2)<f (x2),
即f (x1)<f (x2),所以函數在R上是減函數.                   ……6分
(2)由f (a+b)=f (a)+f (b)得:f (x-x)=f (x)+f (-x),即f (x)+f (-x)=f (0),而f (0)=0,
所以f (-x)=-f (x),即函數f (x)是奇函數.                    ……12分
考點:本題考查抽象函數及其應用;函數奇偶性的判斷.函數的單調性。
點評:本題以抽象函數的單調性證明為載體考查了函數的奇偶性的定義,其中利用“湊配法”得到f(0)=0及f(-x)=-f(x)是解答的關鍵.

練習冊系列答案
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(Ⅰ)若上的最小值是,試解不等式
(Ⅱ)若上單調遞增,試求實數的取值范圍。

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(1)若恒成立,求實數的取值范圍;
(2)若時,恒成立,求實數的取值范圍;
(3)當時,解不等式.

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(Ⅱ)討論函數的零點個數.

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(Ⅱ)若方程的兩根都在內,則求實數的取值范圍

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(1)寫出關于的函數關系式,并指出這個函數的定義域;
(2)當AE為何值時,綠地面積最大?  (10分) 

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設P:二次函數在區間上存在零點;Q:函數內沒有極值點.若“P或Q”為真命題,“P且Q”為假命題,求實數的取值范圍.

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函數
(1)若的定義域為R,求實數的取值范圍.
(2)若的定義域為[-2,1],求實數的值

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