Question

【題目】已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設為曲線上的一個不在軸上的動點， 為坐標原點，過點作的平行線交曲線于、兩個不同的點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積的最大值為.

【解析】試題分析：（1）由所給兩圓的位置關系及圖像，知動圓與圓內切，再由兩圓內切時半徑與圓心距的關系可得，則，滿足橢圓的定義，可知點軌跡方程為橢圓，再由橢圓定義可求得各橢圓方程各系數值；（2）可設直線的方程，及， ， 將直線方程與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系與弦長公式可求得長度，再求出點到直線．利用函數性質可求得面積最大值．

試題解析：（1）設圓的半徑為，圓心的坐標為，

由于動圓與圓只能內切

所以

則，

所以圓心的軌跡是以點， 為焦點的橢圓.

且，則.

所以曲線的方程為.

（2）設， ， ，直線的方程為，

由可得，

則， .

所以

.

因為，所以的面積等于的面積.

點到直線 的距離.

所以的面積

.

令，則， .

設，則，

因為，所以.

所以在上單調遞增.

所以當時， 取得最小值，其值為9.

所以的面積的最大值為.

說明： 的面積 .