Question

已知0＜k＜4，直線l₁：kx-2y-2k+8=0和直線l：2x+k²y-4k²-4=0與兩坐標軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的k值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出兩直線經過的定點坐標，再求出直線與x 軸的交點，與y 軸的交點，得到所求的四邊形，利用四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形 OCBD的面積之和，再應用二次函數的性質求出面積最小時的k 值．
解答：解：如圖所示：
直線l₁：kx-2y-2k+8=0即 k（x-2）-2y+8=0，過定點B（2，4），
與y 軸的交點C（0，4-k），
直線l：2x+k²y-4k²-4=0，即  2x-4+k² （y-4）=0，
過定點（2，4 ），與x 軸的交點A（2 k²+2，0），
由題意知，四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形 OCBD的面積之和，故所求四邊形的面積為
×4×（2 k²+2-2）+=4k²-k+8，∴k=時，所求四邊形的面積最小，
故答案為 ．
點評：本題考查直線過定點問題，二次函數的性質得應用，體現了轉化及數形結合的數學思想．