Question

已知函數g（x）=log_ax，其中a＞1．
（Ⅰ）當x∈[0，1]時，g（a^x+2）＞1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設m（x）是定義在[s，t]上的函數，在（s，t）內任取n-1個數x₁，x₂，…，x_n-2，x_n-1，設x₁＜x₂＜…＜x_n-2＜x_n-1，令s=x₀，t=x_n，如果存在一個常數M＞0，使得

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立，則稱函數m（x）在區間[s，t]上的具有性質P．
試判斷函數f（x）=|g（x）|在區間[

1

a

，a2]上是否具有性質P？若具有性質P，請求出M的最小值；若不具有性質P，請說明理由．
（注：

n

i=1

|m(xi)-m(xi-1)|=|m(x1)-m(x0)|+|m(x2)-m(x1)|+…+|m(xn)-m(xn-1)|）

Answer 1

分析：（Ⅰ）當x∈[0，1]時，g（a^x+2）＞1恒成立，可轉化為a^x+2＞a恒成立，進而轉化為函數最值問題解決；
（Ⅱ）先研究函數f（x）在區間[

1

a

，a2]上的單調性，然后對(

1

a

，a2)內的任意一個取數方法

1

a

=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=a2，根據性質P的定義分兩種情況討論即可：①存在某一個整數k∈{1，2，3，…，n-1}，使得x_k=1時，②當對于任意的k∈{0，1，2，3，…，n-1}，x_k≠1時；

解答：解：（Ⅰ）當x∈[0，1]時，g（a^x+2）＞1恒成立，即x∈[0，1]時，loga(ax+2)＞1恒成立，
因為a＞1，所以a^x+2＞a恒成立，即a-2＜a^x在區間[0，1]上恒成立，
所以a-2＜1，即a＜3，
所以1＜a＜3．即a的取值范圍是（1，3）．
（Ⅱ）由已知f（x）=|log_ax|，可知f（x）在[1，a²]上單調遞增，在[

1

a

，1]上單調遞減，
對于(

1

a

，a2)內的任意一個取數方法

1

a

=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=a2，
當存在某一個整數k∈{1，2，3，…，n-1}，使得x_k=1時，

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=[f(x0)-f(x1)]+[f(x1)-f(x2)]+…+[f(xk-1)-f(xk)]+[f（x_k+1）-f（x_k）]+[f（x_k+2）-f（x_k+1）]+…+[f（x_n）-f（x_n-1）]=f(

1

a

)-f(1)+f(a2)-f(1)=1+2=3．
當對于任意的k∈{0，1，2，3，…，n-1}，x_k≠1時，則存在一個實數k使得x_k＜1＜x_k+1，
此時

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=[f(x0)-f(x1)]+[f(x1)-f(x2)]+…+[f(xk-1)-f(xk)]+|f（x_k+1）-f（x_k）|+[f（x_k+2）-f（x_k+1）]+…+[f（x_n）-f（x_n-1）]
=f（x₀）-f（x_k）+|f（x_k）-f（x_k+1）|+f（x_n）-f（x_k+1），（*）
當f（x_k）＞f（x_k+1）時，（*）式=f（x_n）+f（x₀）-2f（x_k+1）＜3，
當f（x_k）＜f（x_k+1）時，（*）式=f（x_n）+f（x₀）-2f（x_k）＜3，
當f（x_k）=f（x_k+1）時，（*）式=f（x_n）+f（x₀）-f（x_k）-f（x_k+1）＜3．
綜上，對于(

1

a

，a2)內的任意一個取數方法

1

a

=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=a2，均有

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤3．
所以存在常數M≥3，使

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
所以函數f（x）在區間[

1

a

，a2]上具有性質P．
此時M的最小值為3．

點評：本題考查函數恒成立問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決新問題的能力，本題綜合性強、難度大，對知識能力要求較高．